Ví dụ Nhóm_con

  1. Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc.
  2. Xét nhóm các phép thế S3 của ba số tự nhiên dương đầu tiên 1, 2, 3. S3 gồm 6 phép thế sau:
σ 1 = ( 1 2 3 1 2 3 ) = e {\displaystyle {\sigma }_{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}=e} ; σ 2 = ( 1 2 3 2 3 1 ) {\displaystyle {\sigma }_{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}} ; σ 3 = ( 1 2 3 3 1 2 ) {\displaystyle {\sigma }_{3}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}} ;
σ 4 = ( 1 2 3 2 1 3 ) {\displaystyle {\sigma }_{4}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}} ; σ 5 = ( 1 2 3 3 2 1 ) {\displaystyle {\sigma }_{5}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}} ; σ 6 = ( 1 2 3 1 3 2 ) {\displaystyle {\sigma }_{6}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}}

Ta có bảng nhân của S 3 {\displaystyle S_{3}}

* σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} σ 3 {\displaystyle \sigma _{3}} σ 4 {\displaystyle \sigma _{4}} σ 5 {\displaystyle \sigma _{5}} σ 6 {\displaystyle \sigma _{6}}
σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} σ 3 {\displaystyle \sigma _{3}} σ 4 {\displaystyle \sigma _{4}} σ 5 {\displaystyle \sigma _{5}} σ 6 {\displaystyle \sigma _{6}}
σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} σ 3 {\displaystyle \sigma _{3}} σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} σ 6 {\displaystyle \sigma _{6}} σ 4 {\displaystyle \sigma _{4}} σ 5 {\displaystyle \sigma _{5}}
σ 3 {\displaystyle \sigma _{3}} σ 3 {\displaystyle \sigma _{3}} σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} σ 5 {\displaystyle \sigma _{5}} σ 6 {\displaystyle \sigma _{6}} σ 4 {\displaystyle \sigma _{4}}
σ 4 {\displaystyle \sigma _{4}} σ 4 {\displaystyle \sigma _{4}} σ 5 {\displaystyle \sigma _{5}} σ 6 {\displaystyle \sigma _{6}} σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} σ 3 {\displaystyle \sigma _{3}}
σ 5 {\displaystyle \sigma _{5}} σ 5 {\displaystyle \sigma _{5}} σ 6 {\displaystyle \sigma _{6}} σ 4 {\displaystyle \sigma _{4}} σ 3 {\displaystyle \sigma _{3}} σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}}
σ 6 {\displaystyle \sigma _{6}} σ 6 {\displaystyle \sigma _{6}} σ 4 {\displaystyle \sigma _{4}} σ 5 {\displaystyle \sigma _{5}} σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} σ 3 {\displaystyle \sigma _{3}} σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}}

Có thể kiểm tra

    1. nhóm con của S 3 {\displaystyle S_{3}} sinh bởi σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} gồm e, σ 2 , σ 3 {\displaystyle \sigma _{2},\sigma _{3}} ;
    2. nhóm con của S 3 {\displaystyle S_{3}} sinh bởi σ 3 {\displaystyle \sigma _{3}} gồm e, σ 2 , σ 3 {\displaystyle \sigma _{2},\sigma _{3}} ;
    3. nhóm con của S 3 {\displaystyle S_{3}} sinh bởi σ 4 {\displaystyle \sigma _{4}} gồm e, σ 4 {\displaystyle \sigma _{4}} ;
    4. nhóm con của S 3 {\displaystyle S_{3}} sinh bởi σ 5 {\displaystyle \sigma _{5}} gồm e, σ 5 {\displaystyle \sigma _{5}} ;
    5. nhóm con của S 3 {\displaystyle S_{3}} sinh bởi σ 6 {\displaystyle \sigma _{6}} gồm e, σ 6 {\displaystyle \sigma _{6}}